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何謂特徵根、特徵向量

Eigen是德文的一個詞彙，意即「自己的」，而中文翻譯成特徵根、特徵向量確實有點摸不著頭腦。所謂特徵根以及特徵向量，代表的是一個向量，經過線性轉換(Linear Transformation)後，向量的方向不會改變，可以看這張圖

這張圖相當於是說，將向量(0.71,0.71)與矩陣 $$ \begin{bmatrix} -3&0\\
0&1 \\
\end{bmatrix} $$

相乘後，該向量會指向什麼哪裏、長度多少

下圖中黑色的部分是線性轉換之前的向量，而紅色則是線性變換之後的位置

那什麼是特徵向量呢，所謂的特徵向量，就是指那些經過線性變換後，向量方向不變（只有長度、正負號）改變的向量，就叫特徵向量，舉個最簡單的例子，假設現在有個線性變換是這樣

$$ \begin{bmatrix} 2&0\\
0&2 \\
\end{bmatrix} $$

也就說把每個單位向量都拉伸兩倍，那麼它實際看起來就會像是這個樣子

我們會發現它的每一個向量，經過線性變換後，都和它原先的向量只差一倍，那這個一倍的值就是它的特徵根(EigenValue)。

以畫面來表示特徵根、特徵向量

比如說現在有一個線性變化如下

$$ \begin{bmatrix} 1&2\\
2&1 \\
\end{bmatrix} $$

(1,0)轉換的結果就像紅色的那樣

我們觀察上圖可以發現，是不是在某些時候，紅色跟黑色的線是共線的情形

（▲長度相差3倍）

（▲長度相差-1倍）

像這樣的情況

(0.71,0.71)、(-0.7,0.71)就是特徵向量(不只一組)，而3、-1就是特徵值