參考網址

https://www.cupoy.com/collection/000001699E6396C0000000046375706F795F72656C656173654355?layoutType=content

Linear Algebra Lecture 1：What are we going to learn?

何謂線性系統(Linear System)

所謂系統，也可稱作一個function，通常會有一個input，一個output，而一**b **

1. Perservering Multiplication

若x經過線性系統計算後得到y，那麼kx經過線性系統計算後應該也要得到ky

2. Persevering Addition

x1計算後得y1，x2計算後得y2，那麼(x1+x2)的計算結果為(y1+y2)

Ask 矩陣的轉置是線性的嗎？

Yes

Ask 微分是線性的嗎？

Yes

Ask積分是線性的嗎

Yes，積分也是線性的^_^

線性系統的應用

• 電路學(ㄏ 沒修過)

  

• 信號與系統(ㄏ 也沒學過)

• 傅立葉轉換(Fourier Transform)
• 搜尋引擎的Page Rank 演算法

Linear Algebra Lecture 2: System of Linear Equations

• A System of Linear equations(多元一次聯立方程式)
• 

​ 定義域： y=x²，x∈R

​ 對應域：不思考function的實際內容，大概猜一下可能的解範圍，故對應域為R

​ 值域：考慮一下function的實際內容，可以得知值域為x>=0

​ One-to-One： Domain跟range一樣大

​ Onto：Co-domain= range

Linear Algebra Lecture 3: Vector

• Vector

  一組數字的集合 ex: $$ \begin{bmatrix} 1 \\
  2 \\
  3 \end{bmatrix} $$

• Vector Set：一群向量組合在一起，且可以包含無限組的的向量，即稱為向量集合

​

• Matrix：多組向量組合成Ｍatrix

​ 

Linear Algebra Lecture 4：Matrix

什麼是Martix，很多組的Vector放在一起就是Martin

• Zero Matrix

  

Linear Algebra Lecture 5：Matrix-vector ProductLinear Algebra Lecture 5：Matrix-vector Product

何謂向量內積

內積的值是一個純量，不是一個向量。D

以Row、Column觀點來看矩陣乘法

現有一方程 $$ \begin{align*} x_1 + 4x_2 &= b_1 \\
-3x_1 - 2x_2 &= b_2 \end{align*} $$

對其輸入，[-2,0.5]，得到的結果是 $$ \begin{bmatrix} 0 \\
7
\end{bmatrix} $$

以Row觀點來理解這件事情

那麼0相當於是輸入向量與Row1進行內積，得出的結果。而7相當於是輸入向量與Row2得出來的結果

以Column觀點來看這件事情

那麼相當於是將 $$ \begin{bmatrix} 1 \\
3
\end{bmatrix} $$ 這個向量拉長-2倍變成 $$ \begin{bmatrix} -2 \\
-6
\end{bmatrix} $$

然後再將 $$ \begin{bmatrix} 4 \\
2
\end{bmatrix} $$ 這個向量拉長0.5倍變成 $$ \begin{bmatrix} 2 \\
1 \end{bmatrix} $$

兩個向量在相加，變成 $$ \begin{bmatrix} 0 \\
7
\end{bmatrix} $$

Linear Algebra Lecture 6： Having Solution or Not

• 一線性系統有解稱之為consistent，無解稱 之為inconsistent

• 現一線性系統Ax=B，若這個系統有解，則代表這個系統是consistent，也代表B是可以通過A的線性組合而來

• 

• 任兩條非平行的向量，都可以組合出平面空間中的所有向量

• 但任三條非平行的向量，不可以組合出立體空間中的所有向量，有可能第三條向量，落在前兩條向量張成的向量空間中

Span

假設現在你有一堆向量集合，u₁,u₂,u₃…然後去窮舉這些向量能做的線性組合，這個得出的集合就叫做Span

生成集(generating set)

Linear Algebra Lecture 7：How many solutions?

King Crimson

Linear Algebra Lecture 18: Subspace

Subspace 子空間

若一組向量集合V，滿足以下三種性質，即可稱之為子空間(subspace)

1. 向量集合V包含0向量(確保向量集合不是空集合)
2. 向量集合V中，任取兩個向量，u和w，則u+w也在向量集合V中(滿足加法封閉性)
3. 向量集合V中，取一個向量u，將它成上某\數後，依然在向量集合V中(滿足乘法封閉性)

以上2,3可以簡單地說，也就是線性組合

範例

Span

假設現在有一組向量集合S，我們把這個向量集合S中的所有向量拿出來做Linear Combinations，然後集合起來，這樣就產生另一個向量集合，叫Span S。

我們現在稱這個Span S為向量集合V，此時，向量集合S產生了V，向量集合S也就是V的生成集

Subspace Vs Span

Null Space

Linear Algebra Lecture 19: Basis

設向量集合V是Rⁿ的一個子空間，那麼向量集合V的Basis要滿足以下兩個條件

1. 是線性獨立的
2. 可以組合出V的所有向量

比如說 $$ \begin{bmatrix} 1 \\
0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\
1
\end{bmatrix} 是R^2的Basis $$

因為這兩個向量是線性獨立的、且可以組合出R²的所有向量，因此是R²的Basis。由此可以發現，Basis不具備唯一性，只要可以滿足1、2都可以稱之為Basis